После окончания 9-го класса Анатолий поступил в авиационный техникум имени Н.Н. Годовикова. Потом работа, армия, снова работа, учёба в Московском государственном заочном педагогическом институте по специальности «учитель физики».
С июля 1974 г. началась новая страница жизни Анатолия Николаевича Савельева – жизнь «по Альфе». Придя в первый состав созданной группы «А», он прошёл пусть от рядового сотрудника до Начальника Штаба, побывал во всех боевых точках на территории страны и за рубежом, собственным примером воспитал не одно поколение бойцов.
Во всём, что делал Анатолий Николаевич, он был профессионалом. Прежде всего, профессиональным военным. Во многих операциях он встречался с врагом один на один и одерживал победу. Профессионально воспитывал молодых бойцов: как Суворов изматывал их на учениях, чтобы потом было легко в бою.
20 декабря 1997 г. полковник А.Н. Савельев погиб при выполнении боевого задания по освобождению заложников возле посольства Королевства Швеции в Москве. 22 декабря 1997 г. ему было присвоено звание Героя России (посмертно).